Fisica: come misurare l’accelerazione di due masse collegate da una stringa

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macchina Atwood per misurare l'accelerazione di due masse

Immagina di voler studiare cosa succede quando un oggetto accelera. Ah, ovviamente lo stai facendo molto prima che esistesse internet, non hai computer o calcolatrice. In effetti, diciamo che è l’anno 1780. Che cosa fai? Potresti prendere una massa e lasciarla cadere. Quello funzionerebbe. Poiché la forza gravitazionale è costante, ciò gli darà un’accelerazione costante. L’oggetto si muoverà con un’accelerazione verticale di 9,8 metri al secondo al quadrato. Semplice.

Ma aspetta. Ecco come appare effettivamente.

RHETT ALLAIN

Si.  È tutto piuttosto rapido e ottenere dati sulla posizione in questo modo è parecchio difficile. Allora cosa fai? Hai bisogno di un modo per ottenere un’accelerazione costante, ma un’accelerazione inferiore a 9,8 m/s2 . Un’opzione potrebbe essere quella di far rotolare qualcosa giù per un pendio. L’altra soluzione è ciò che escogitò George Atwood. Non a caso, si chiama la macchina Atwood.

Questa macchina Atwood utilizza due masse e una puleggia. Le due masse sono collegate da una corda che scorre sulla puleggia in modo tale che una massa penda su ciascun lato. Ecco un diagramma:

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Idealmente, la puleggia dovrebbe avere una massa molto bassa (rispetto alle due masse sospese) e, auspicabilmente, un bassissimo attrito sull’asse. Se le due masse sono identiche e liberate dal riposo, non accadrà nulla. Se una è più massiccia dell’altra, il sistema accelererà. Ma come troviamo il valore di questa accelerazione? Dato che questo è un problema di fisica abbastanza classico, andiamo oltre i dettagli. In realtà, ci sono due modi per risolvere questo problema.

Iniziamo con un’analisi della forza su ciascuna massa. Entrambe le masse hanno solo due forze. C’è la tensione di trazione verso l’alto (dalla corda) e la spinta verso il basso della forza gravitazionale. Se conosciamo la forza netta su un oggetto, possiamo anche trovare l’accelerazione di quell’oggetto secondo questa equazione forza-movimento:

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Con queste informazioni possiamo trovare un’equazione di accelerazione della forza per entrambe le masse. Ricorda, le due masse hanno la stessa forza di tensione (ma in direzioni opposte). Inoltre, se la massa 1 accelera verso l’alto con una certa accelerazione ( a ), la massa 2 accelera verso il basso con la stessa entità di accelerazione (poiché sono collegati da una stringa). Ecco un diagramma con le due equazioni di forza.

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Uhm… Troppa matematica? Ok, calmati. Non c’è molta matematica, e non devi risolvere equazioni. Voglio solo mostrarti come funziona tutto questo. Volevo dire che la tensione nella corda era pari al peso (forza gravitazionale) di una delle masse. Certo che è sbagliato. Quale massa sceglierebbe la corda per ottenere il peso? inoltre, è sbagliato perché le masse stanno accelerando. Con una massa in accelerazione, la forza netta NON è zero.

Nelle due equazioni della forza mostrate sopra (che NON DEVONO essere risolte), ci sono due cose che sono sconosciute. Non conosciamo il valore della tensione e non conosciamo l’accelerazione. Ecco due equazioni con due incognite. Risolvendo una delle equazioni per la tensione e quindi inserendola nell’altra equazione si ottiene la seguente espressione per l’accelerazione.

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Ecco qua. Questa è l’accelerazione delle masse. Si noti che se le due masse hanno lo stesso valore, l’accelerazione sarebbe pari a zero metri al secondo al quadrato. Inoltre, l’accelerazione sarà inferiore al valore di g (9,8 m/s2) poiché l’equazione dice di moltiplicare g per la differenza della massa divisa per la somma della massa.

OK, facciamolo di nuovo pensando in un modo diverso. Chiaramente, è la differenza di massa la chiave di tutto questo. La massa extra su un lato della macchina Atwood crea una forza gravitazionale netta che fa scendere la massa maggiore. Questa forza netta è solo la differenza di massa moltiplicata per il campo gravitazionale (g). Ma cosa fa una forza netta? Rende un oggetto accelerato. Tuttavia, entrambe le masse devono accelerare. Mettendo queste due idee insieme all’equazione forza-movimento si ottiene:

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Se risolvi questo problema per l’accelerazione, ottieni la stessa cosa dell’altro metodo. È bello quando due diversi metodi sono d’accordo. Ma il miglior accordo è con la vita reale. Quindi, facciamolo. Che ne dici di utilizzare una macchina Atwood reale e misurare la sua accelerazione, quindi confrontarla con l’accelerazione teorica? Ecco come appare la macchina.

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Uno dei pesi ha una massa di 200 grammi, con 205 grammi sull’altro lato. La stringa di connessione scorre su una puleggia “intelligente“. Questa puleggia può registrare la posizione angolare mentre ruota e, conoscendo il diametro di questa puleggia, posso ottenere dati di posizione e tempo per le due masse. Oh, nota che la massa più pesante (sul lato destro) inizialmente sale SU e poi GIÙ. Ha ancora un’accelerazione verso il basso, anche se sta salendo. Andando su e giù, posso raccogliere più dati.

In realtà, invece di mostrare i dati di posizione, ho intenzione di barare leggermente. Userò la velocità delle masse. Il software per questa puleggia intelligente (realizzata da Vernier) prende una derivata numerica dei dati per dare anche velocità. Poiché l’accelerazione è la derivata della velocità, l’inclinazione di un grafico velocità-tempo sarebbe l’accelerazione.

Ecco i dati della vera macchina Atwood.

Si noti che la pendenza della linea è 103,6 mm/s2 o 0,1036 metri al secondo al quadrato. La parte prima e dopo quella pendenza verso il basso sono i tempi in cui la massa veniva spinta e poi fermata – basta ignorare quella parte. Se si utilizza la formula teorica di cui sopra per l’accelerazione con quelle masse, si ottiene un valore di 0,121 m/s2. Non è male.

Tutto questo Supponendo che la massa della puleggia sia abbastanza piccola da essere ignorata e che la forza di attrito sia trascurabile.

Fonte: Wired