Alexander Polyakov, un fisico teorico ora all’Università di Princeton, ha intravisto il futuro della teoria quantistica nel 1981. Una serie di misteri, dall’agitazione delle stringhe al legame dei quark nei protoni, richiedeva un nuovo strumento matematico.
“Ci sono metodi e formule scientifiche che servono come chiavi master a molti problemi apparentemente diversi”, ha scritto nell’introduzione a una ormai famosa lettera di quattro pagine in Physics Letters B. “Al momento dobbiamo sviluppare l’arte di gestire le somme su superfici casuali“.
La proposta di Polyakov si dimostrò potente. Nel suo articolo aveva abbozzato una formula che descriveva approssimativamente come calcolare le medie di un tipo di superficie estremamente caotico, il “campo di Liouville“. Il suo lavoro ha portato i fisici in una nuova arena matematica, essenziale per sbloccare il comportamento di oggetti teorici chiamati stringhe e costruire un modello semplificato della gravità quantistica.
Anni di fatica avrebbero portato Polyakov a soluzioni rivoluzionarie per altre teorie in fisica, ma non ha mai compreso appieno la matematica dietro il campo di Liouville.
Negli ultimi sette anni, tuttavia, un gruppo di matematici ha fatto ciò che molti ricercatori ritenevano impossibile. In una trilogia di pubblicazioni fondamentali, hanno rielaborato la formula di Polyakov utilizzando un linguaggio matematico completamente rigoroso e hanno dimostrato che il campo di Liouville modella perfettamente i fenomeni come Polyakov pensava che sarebbe stato.
“Ci sono voluti 40 anni in matematica per dare un senso a quattro pagine“, ha detto Vincent Vargas, matematico del Centro nazionale francese per la ricerca scientifica e coautore della ricerca con Rémi Rhodes dell’Università di Aix-Marseille, Antti Kupiainen del Università di Helsinki, François David del Centro nazionale francese per la ricerca scientifica e Colin Guillarmou dell’Università Paris-Saclay.
I tre articoli creano un ponte tra il mondo incontaminato della matematica e la realtà disordinata della fisica, e lo fanno aprendo nuovi orizzonti nel campo matematico della teoria della probabilità. Il lavoro tocca anche questioni filosofiche riguardanti gli oggetti che sono al centro delle principali teorie della fisica fondamentale: i campi quantistici.
“Questo è un capolavoro della fisica matematica“, ha detto Xin Sun, un matematico dell’Università della Pennsylvania.
Campi infiniti per la gravità quantistica
Nella fisica di oggi, gli attori principali delle teorie di maggior successo sono i campi, oggetti che riempiono lo spazio, assumendo valori diversi da luogo a luogo.
Nella fisica classica, ad esempio, un singolo campo ti dice tutto su come una forza spinge gli oggetti intorno. Prendi il campo magnetico terrestre: le contrazioni dell’ago di una bussola rivelano l’influenza del campo (la sua forza e direzione) in ogni punto del pianeta.
I campi sono fondamentali anche per la fisica quantistica. Tuttavia, la situazione qui è più complicata a causa della profonda casualità della teoria quantistica. Dal punto di vista quantistico, la Terra non genera un campo magnetico, ma piuttosto un numero infinito di campi diversi. Alcuni assomigliano quasi al campo che osserviamo nella fisica classica, ma altri sono molto diversi.
Ma i fisici vogliono ancora fare previsioni, previsioni che corrispondono idealmente, in questo caso, a ciò che un marinaio legge su una bussola. Assimilare le infinite forme di un campo quantistico in una singola previsione è il compito formidabile di una “teoria quantistica dei campi” o QFT. Questo è un modello di come uno o più campi quantistici, ciascuno con le sue infinite variazioni, agiscono e interagiscono.
Spinti da un immenso supporto sperimentale, i QFT sono diventati il linguaggio di base della fisica delle particelle. Il Modello Standard è uno di questi QFT, che raffigura particelle fondamentali come gli elettroni come protuberanze sfocate che emergono da un’infinità di campi di elettroni. Ha superato ogni prova sperimentale fino ad oggi (anche se vari gruppi potrebbero essere sul punto di trovare i primi buchi).
I fisici giocano con molti QFT diversi. Alcuni, come il Modello Standard, aspirano a modellare particelle reali che si muovono attraverso le quattro dimensioni del nostro universo (tre dimensioni spaziali più una dimensione temporale). Altri descrivono particelle esotiche in strani universi, dalle pianure bidimensionali ai super mondi a sei dimensioni. La loro connessione con la realtà è remota, ma i fisici li studiano nella speranza di ottenere intuizioni che possano riportare nel nostro mondo.
La teoria dei campi di Liouville di Polyakov ne è un esempio.
Campo di gravità
Il campo di Liouville, che si basa su un’equazione dell’analisi complessa sviluppata nel 1800 dal matematico francese Joseph Liouville, descrive una superficie bidimensionale completamente casuale, cioè una superficie, come la crosta terrestre, ma in cui l’altezza di ogni punto è scelto a caso. Un tale pianeta erutterebbe con catene montuose di vette infinitamente alte, ciascuna assegnata lanciando un dado con facce infinite.
Un tale oggetto potrebbe non sembrare un modello informativo per la fisica, ma la casualità non è priva di schemi. La curva a campana, ad esempio, ti dice quanto è probabile che tu sorpassi casualmente un giocatore di basket di 2 metri per strada. Allo stesso modo, le nuvole bulbose e le coste increspate seguono schemi casuali, ma è comunque possibile discernere relazioni coerenti tra le loro caratteristiche su larga scala e su piccola scala.
La teoria di Liouville può essere utilizzata per identificare modelli nel paesaggio infinito di tutte le possibili superfici casuali e frastagliate.
Polyakov si rese conto che questa topografia caotica era essenziale per modellare le stringhe, che tracciano superfici mentre si muovono. La teoria è stata applicata anche per descrivere la gravità quantistica in un mondo bidimensionale.
Einstein definì la gravità come la curvatura dello spazio-tempo, ma traducendo la sua descrizione nel linguaggio della teoria quantistica dei campi crea un numero infinito di spazio-tempi, proprio come la Terra produce una collezione infinita di campi magnetici.
La teoria di Liouville raggruppa tutte quelle superfici in un unico oggetto. Fornisce ai fisici gli strumenti per misurare la curvatura, e quindi la gravitazione, in ogni posizione su una superficie 2D casuale.
Il primo passo di Polyakov nell’esplorare il mondo delle superfici casuali è stato scrivere un’espressione che definisse le probabilità di trovare un particolare pianeta appuntito, proprio come la curva a campana definisce le probabilità di incontrare qualcuno di una particolare altezza. Ma la sua formula non portava a previsioni numeriche utili.
Risolvere una teoria quantistica dei campi significa essere in grado di utilizzare il campo per prevedere le osservazioni. In pratica, questo significa calcolare le “funzioni di correlazione” di un campo, che catturano il comportamento del campo descrivendo la misura in cui una misurazione del campo in un punto si riferisce, o è correlata, a una misurazione in un altro punto. Il calcolo delle funzioni di correlazione nel campo dei fotoni, ad esempio, può darti le leggi da manuale dell’elettromagnetismo quantistico.
Polyakov cercava qualcosa di più astratto: l’essenza delle superfici casuali, simili alle relazioni statistiche che fanno di una nuvola una nuvola o di una costa una costa. Aveva bisogno delle correlazioni tra le altezze casuali del campo di Liouville. Nel corso dei decenni ha provato due modi diversi di calcolarli. Ha iniziato con una tecnica chiamata integrale del percorso di Feynman e ha finito per sviluppare una soluzione nota come bootstrap. Entrambi i metodi hanno fallito in modi diversi, finché i matematici dietro il nuovo lavoro li hanno uniti in una formulazione più precisa.
Potresti immaginare che spiegare le infinite forme che può assumere un campo quantistico sia quasi impossibile. E avresti ragione. Negli anni ’40 Richard Feynman, un pioniere della fisica quantistica, sviluppò una ricetta per affrontare questa situazione sconcertante, ma il metodo si dimostrò gravemente limitato.
Prendi, ancora, il campo magnetico terrestre. Il tuo obiettivo è utilizzare la teoria quantistica dei campi per prevedere cosa osserverai quando esegui una lettura della bussola in una posizione particolare. Per fare ciò, Feynman propose di sommare insieme tutte le forme del campo. Ha sostenuto che la tua lettura rappresenterà una media di tutte le possibili forme del campo. La procedura per sommare queste configurazioni di campi infiniti con la ponderazione appropriata è nota come integrale del cammino di Feynman.
È un’idea elegante che fornisce risposte concrete solo per campi quantistici selezionati. Nessuna procedura matematica conosciuta può mediare in modo significativo un numero infinito di oggetti che coprono una distesa infinita di spazio in generale. L’integrale del percorso è più una filosofia fisica che una ricetta matematica esatta. I matematici mettono in dubbio la sua stessa esistenza come operazione valida e sono infastiditi dal modo in cui i fisici si affidano ad essa.
“Sono disturbato come matematico da qualcosa che non è definito“, ha detto Eveliina Peltola, matematica all’Università di Bonn in Germania.
I fisici possono sfruttare l’integrale del percorso di Feynman per calcolare le funzioni di correlazione esatte solo per i campi più noiosi: i campi liberi, che non interagiscono con altri campi e nemmeno con se stessi. Altrimenti, devono falsificarlo, fingendo che i campi siano liberi e aggiungendo interazioni lievi o “perturbazioni”. Questa procedura, nota come teoria delle perturbazioni, fornisce loro funzioni di correlazione per la maggior parte dei campi del Modello Standard, perché le forze della natura sono piuttosto deboli.
Ma non ha funzionato per Polyakov. Sebbene inizialmente avesse ipotizzato che il campo di Liouville potesse essere suscettibile all’hack standard di aggiungere lievi perturbazioni, scoprì che interagiva con se stesso in modo troppo forte. Rispetto a un campo libero, il campo di Liouville sembrava matematicamente imperscrutabile e le sue funzioni di correlazione sembravano irraggiungibili.
Su dai Bootstraps
Polyakov iniziò presto a cercare una soluzione alternativa. Nel 1984, ha collaborato con Alexander Belavin e Alexander Zamolodchikov per sviluppare una tecnica chiamata bootstrap, una scala matematica che porta gradualmente alle funzioni di correlazione di un campo.
Per iniziare a salire la scala, è necessaria una funzione che esprima le correlazioni tra le misurazioni in soli tre punti del campo. Questa “funzione di correlazione a tre punti“, oltre ad alcune informazioni aggiuntive sulle energie che una particella del campo può assumere, costituisce il gradino inferiore della scala bootstrap.
Da lì sali un punto alla volta: usa la funzione a tre punti per costruire la funzione a quattro punti, usa la funzione a quattro punti per costruire la funzione a cinque punti e così via. Ma la procedura genera risultati contrastanti se si inizia con la funzione di correlazione a tre punti sbagliata nel primo ramo.
Polyakov, Belavin e Zamolodchikov hanno usato il bootstrap per risolvere con successo una serie di semplici teorie QFT, ma proprio come con l’integrale del percorso di Feynman, non sono riusciti a farlo funzionare per il campo di Liouville.
Poi, negli anni ’90, due coppie di fisici – Harald Dorn e Hans-Jörg Otto, e Zamolodchikov e suo fratello Alexei – riuscirono a trovare la funzione di correlazione a tre punti che consentiva di scalare la scala, risolvendo completamente il campo di Liouville (e la sua semplice descrizione della gravità quantistica). Il loro risultato, noto con le loro iniziali come formula DOZZ, ha permesso ai fisici di fare qualsiasi previsione riguardante il campo di Liouville. Ma anche gli autori sapevano di esserci arrivati in parte per caso, non attraverso una solida matematica.
Le ipotesi plausibili sono utili in fisica, ma non soddisfano i matematici, che in seguito volevano sapere da dove provenisse la formula DOZZ. L’equazione che ha risolto il campo di Liouville dovrebbe derivare da una descrizione del campo stesso, anche se nessuno aveva la più pallida idea di come ottenerlo.
“Mi sembrava fantascienza“, ha detto Kupiainen. “Questo non sarà mai dimostrato da nessuno“.
Domare superfici selvagge
All’inizio degli anni 2010, Vargas e Kupiainen hanno unito le forze con il teorico della probabilità Rémi Rhodes e il fisico François David. Il loro obiettivo era quello di legare le estremità matematiche del campo di Liouville, formalizzare l’integrale del percorso di Feynman che Polyakov aveva abbandonato e, forse, demistificare la formula DOZZ.
All’inizio, si resero conto che un matematico francese di nome Jean-Pierre Kahane aveva scoperto, decenni prima, quella che si sarebbe rivelata la chiave della teoria principale di Polyakov.
“In un certo senso è completamente pazzesco che Liouville non sia stato definito prima di noi“, ha detto Vargas. “C’erano tutti gli ingredienti“.
L’intuizione ha portato a tre documenti fondamentali in fisica matematica completati tra il 2014 e il 2020.
Per prima cosa hanno eliminato l’integrale del percorso, che aveva fallito Polyakov perché il campo di Liouville interagisce fortemente con se stesso, rendendolo incompatibile con gli strumenti perturbativi di Feynman.
Così, invece, i matematici usarono le idee di Kahane per rimodellare l’imprevedibile campo di Liouville come un oggetto casuale un po’ più mite noto come campo libero gaussiano. I picchi nel campo libero gaussiano non fluttuano agli stessi estremi casuali dei picchi nel campo di Liouville, rendendo possibile per i matematici calcolare medie e altre misure statistiche in modi sensati.
“In qualche modo si fa tutto solo usando il campo libero gaussiano“, ha detto Peltola. “Da questo possono costruire tutto nella teoria“.
Nel 2014, hanno svelato il loro risultato: una versione nuova e migliorata dell’integrale di cammino che Polyakov aveva scritto nel 1981, ma completamente definito in termini di campo libero gaussiano fidato. È un raro caso in cui la filosofia integrale del percorso di Feynman ha trovato una solida esecuzione matematica.
“Gli integrali di percorso possono esistere, esistono“, ha detto Jörg Teschner, fisico presso il German Electron Synchrotron.
Con in mano un integrale di percorso rigorosamente definito, i ricercatori hanno quindi cercato di vedere se potevano usarlo per ottenere risposte dal campo di Liouville e derivarne le funzioni di correlazione. L’obiettivo era la mitica formula DOZZ, ma il divario tra essa e l’integrale del percorso sembrava vasto.
“Scriveremmo sui nostri giornali, solo per motivi di propaganda, che vogliamo capire la formula DOZZ“, ha detto Kupiainen.
Il team ha trascorso anni a stimolare il proprio percorso probabilistico integrale, confermando che aveva davvero tutte le funzionalità necessarie per far funzionare il bootstrap. Nel farlo, si sono basati sul lavoro precedente di Teschner.
Alla fine, Vargas, Kupiainen e Rhodes ci sono riusciti con un articolo pubblicato nel 2017 e un altro nell’ottobre 2020, con Colin Guillarmou. Hanno derivato DOZZ e altre funzioni di correlazione dall’integrale del percorso e hanno mostrato che queste formule corrispondevano perfettamente alle equazioni che i fisici avevano raggiunto usando il bootstrap.
“Ora abbiamo finito“, ha detto Vargas. “Entrambi gli oggetti sono uguali“.
Il lavoro spiega le origini della formula DOZZ e collega la procedura bootstrap, che i matematici avevano considerato approssimativo, con oggetti matematici verificati. Nel complesso, risolve gli ultimi misteri del campo di Liouville.
“In qualche modo è la fine di un’era“, ha detto Peltola. “Ma spero che sia anche l’inizio di alcune cose nuove e interessanti“.
Nuova speranza per i QFT
Vargas e i suoi collaboratori hanno ora un unicorno tra le mani, un QFT fortemente interattivo descritto perfettamente in modo non perturbativo da una breve formula matematica che fa anche previsioni numeriche.
Ora la domanda letterale da un milione di dollari è: fino a che punto possono spingersi questi metodi probabilistici? Possono generare formule ordinate per tutti i QFT?
Vargas è pronto a deludere tali speranze, insistendo sul fatto che i loro strumenti sono specifici per l’ambiente bidimensionale della teoria di Liouville. Nelle dimensioni superiori, anche i campi liberi sono troppo irregolari, quindi dubita che i metodi del gruppo saranno mai in grado di gestire il comportamento quantistico dei campi gravitazionali nel nostro universo.
Ma il nuovo conio della “chiave principale” di Polyakov aprirà altre porte. I suoi effetti si stanno già facendo sentire nella teoria della probabilità, dove i matematici possono ora utilizzare impunemente formule fisiche precedentemente losche. Incoraggiati dal lavoro di Liouville, Sun ed i suoi collaboratori hanno già importato equazioni dalla fisica per risolvere due problemi relativi alle curve casuali.
Anche i fisici attendono benefici tangibili, più avanti. La rigorosa costruzione del campo di Liouville potrebbe ispirare i matematici a provare le caratteristiche di altri QFT apparentemente intrattabili – non solo teorie giocattolo della gravità quantistica, ma descrizioni di particelle e forze reali che riguardano direttamente i segreti fisici più profondi della realtà.
“[I matematici] faranno cose che non possiamo nemmeno immaginare“, ha detto Davide Gaiotto, fisico teorico presso il Perimeter Institute.
