Perché gli scienziati non risolveranno mai esattamente la relatività generale

È difficile apprezzare quanto sia rivoluzionaria la trasformazione che avviene nel considerare l’Universo dal punto di vista di Einstein, piuttosto che di Newton. Secondo la meccanica newtoniana e la gravità newtoniana, l’Universo è un sistema perfettamente deterministico. Le posizioni e i momenti di ciascuna particella nell’Universo, potrebbero determinare per te dove si trova una qualsiasi particella e cosa farà in qualsiasi momento in futuro.

In teoria, anche le equazioni di Einstein sono deterministiche, quindi puoi immaginare che accada qualcosa di simile: se potessi conoscere la massa, la posizione e lo slancio di ogni particella nell’Universo, potresti calcolare qualsiasi cosa nel futuro.

Mentre è possibile scrivere le equazioni che regolano il modo in cui queste particelle si comporterebbero in un universo newtoniano, non possiamo realizzare questo passo in un universo governato dalla relatività generale. Ecco perché.

In un universo newtoniano, ogni oggetto dotato di massa nell’universo esercita una forza gravitazionale ben definita su ogni altro oggetto nell’universo. questo va bene fintanto che puoi determinare la forza gravitazionale tra ogni coppia di masse esistente e quindi calcolare semplicemente la forza gravitazionale newtoniana. Quella forza ti dice anche come si muoverà quella massa (perché  F  = m a ), ed è così che puoi determinare l’evoluzione dell’Universo.

Ma nella relatività generale, la sfida è molto più grande. Anche se conoscessi quelle stesse informazioni – posizione, massa e momento di ciascuna particella – oltre al particolare quadro di riferimento relativistico in cui sono valide, ciò non sarebbe sufficiente per determinare come evolvono le cose. La struttura della più grande teoria di Einstein è troppo complessa per farlo.

Nella Relatività Generale, non è la forza netta che agisce su un oggetto che determina come si muove e accelera, ma piuttosto la curvatura dello spazio (e dello spaziotempo) stesso. Ciò pone immediatamente un problema, perché l’entità che determina la curvatura dello spazio è tutta la materia e l’energia presente all’interno dell’Universo, che include molto più della semplice posizione e momento delle particelle dotate di massa che abbiamo.

Nella Relatività Generale, diversamente dalla gravità newtoniana, anche l’interazione di qualsiasi massa che consideri gioca un ruolo: il fatto che abbia anche energia significa che deforma il tessuto dello spaziotempo. Quando due oggetti voluminosi si muovono e / o accelerano l’uno rispetto all’altro nello spazio, provocano l’emissione di radiazioni gravitazionali.

Questa radiazione non è istantanea, ma si propaga verso l’esterno alla velocità della luce. Questo è un fattore estremamente difficile da spiegare.

Mentre puoi facilmente scrivere le equazioni che governano qualsiasi sistema tu possa immaginare in un universo newtoniano, quel passo è un’enorme sfida in un universo governato dalla relatività generale. A causa di quante cose possono influenzare il modo in cui lo spazio stesso è curvo o altrimenti si evolve con il tempo, spesso non possiamo nemmeno scrivere le equazioni che descrivono la forma di un semplice universo giocattolo.

Forse l’esempio più dimostrativo è immaginare l’Universo più semplice possibile: uno vuoto, senza materia o energia, e che non è mai cambiato nel tempo. È del tutto plausibile, ed è il caso speciale che ci offre una relatività speciale e uno spazio piatto e euclideo. È il caso più semplice e meno interessante possibile.

Ora fai un passo più complesso: prendi una massa puntuale e posala in un qualsiasi punto nell’Universo. Improvvisamente, lo spaziotempo è tremendamente diverso. Invece di una spazio piatto, euclideo, ora hai uno spazio curvo, non importa quanto ti allontani dalla massa.

Scopriamo che più ti avvicini, più veloce lo spazio sotto di te “scorre” verso la posizione di quella massa. Scopriamo che esiste una distanza specifica oltre la quale attraverserai l’orizzonte degli eventi: il punto di non ritorno, dove non puoi fuggire anche se dovessi spostarti arbitrariamente ad una velocità prossima a quella della luce.

Questo spaziotempo è molto più complicato dello spazio vuoto e tutto ciò che abbiamo fatto è stato aggiungere una sola massa. Questa è stata la prima soluzione esatta, non banale mai scoperta nella relatività generale: la soluzione di Schwarzschild, che corrisponde a un buco nero non rotante.

Nel secolo scorso sono state trovate molte altre soluzioni esatte, ma non sono significativamente più complicate. Tra queste:

• soluzioni fluide perfette, in cui l’energia, lo slancio, la pressione e lo sforzo di taglio del fluido determinano il tuo spaziotempo,
• soluzioni electrovacuum, dove possono esistere campi gravitazionali, elettrici e magnetici (ma non masse, cariche elettriche o correnti),
• soluzioni di campo scalare , tra cui una costante cosmologica, energia oscura, tempi spaziali inflazionistici e modelli di quintessenza,
• soluzioni con una massa in un punto che ruota (Kerr), ha carica (Reissner-Nordstrom) o ruota e ha carica (Kerr-Newman),
• o una soluzione fluida con una massa puntiforme (ad es. spazio Schwarzschild-de Sitter).

Potresti notare che queste soluzioni sono anche straordinariamente semplici e non includono il sistema gravitazionale più elementare che consideriamo sempre: un universo in cui due masse sono legate gravitazionalmente insieme.

Questo problema – il problema dei due corpi nella Relatività Generale  – non può essere risolto esattamente. Non esiste una soluzione analitica esatta conosciuta per uno spaziotempo con più di una massa al suo interno, e si pensa (ma non è dimostrato) che tale soluzione non sia possibile.

Invece, tutto ciò che possiamo fare è fare ipotesi e aggirare alcuni termini approssimativi di ordine superiore (l’espansione post-newtoniana) o esaminare la forma specifica di un problema e tentare di risolverlo numericamente.

I progressi nella scienza della relatività numerica, in particolare negli anni ’90 e successivi, sono ciò che ha permesso agli astrofisici di calcolare e determinare modelli per una varietà di firme di onde gravitazionali nell’Universo, comprese soluzioni approssimative per due buchi neri che si fondono. Ogni volta che LIGO o Virgo effettuano un rilevamento, questo è il lavoro teorico che lo rende possibile.

Detto questo, ci sono un numero incredibile di problemi che possiamo risolvere, almeno approssimativamente, sfruttando i comportamenti delle soluzioni che comprendiamo. Possiamo mettere insieme ciò che accade in una patch disomogenea di un universo altrimenti fluido e pieno di fluidi per imparare come crescono le regioni in eccesso e come le regioni in difetto si restringono.

Possiamo estrarre come il comportamento di un sistema risolvibile differisca dalla gravità newtoniana e quindi applicare quelle correzioni a un sistema più complicato che forse non possiamo risolvere.

Oppure possiamo sviluppare nuovi metodi numerici per risolvere problemi che sono completamente intrattabili da un punto di vista teorico; fintanto che i campi gravitazionali sono relativamente deboli (cioè non siamo troppo vicini a una massa troppo grande), questo è un approccio plausibile.

Tuttavia, la relatività generale pone una serie unica di sfide che non si presentano in un universo newtoniano. I fatti sono i seguenti:

• la curvatura dello spazio è in continua evoluzione,
• ogni massa ha la propria auto-energia che cambia anche la curvatura dello spaziotempo,
• gli oggetti che si muovono attraverso lo spazio curvo interagiscono con esso ed emettono radiazioni gravitazionali,
• tutti i segnali gravitazionali generati si muovono solo alla velocità della luce,
• e la velocità dell’oggetto rispetto a qualsiasi altro oggetto provoca una trasformazione relativistica (contrazione della lunghezza e dilatazione del tempo) che deve essere presa in considerazione.

Quando prendi in considerazione tutti questi elementi, tutto si somma alla maggior parte dei tipi di spazio-tempo che puoi immaginare, anche relativamente semplici, portando a equazioni così complesse che non possiamo trovare una soluzione alle equazioni di Einstein.

Una delle lezioni più preziose che abbia mai avuto nella mia vita è arrivata durante il primo giorno della mia prima lezione di matematica al college sulle equazioni differenziali. Il professore disse: “La maggior parte delle equazioni differenziali esistenti non può essere risolta. E la maggior parte delle equazioni differenziali che possono essere risolte non può essere risolta da te“.

Questo è esattamente ciò che è la relatività generale – una serie di equazioni differenziali accoppiate – e la difficoltà che presenta a tutti coloro che la studiano.

Non possiamo nemmeno scrivere le equazioni di campo di Einstein che descrivono la maggior parte degli spazi o la maggior parte degli universi che possiamo immaginare. La maggior parte di quelli che possiamo scrivere non possono essere risolti. E la maggior parte di quelli che possono essere risolti non possono essere risolti da me, da te o da chiunque.

Tuttavia, possiamo fare approssimazioni che ci consentono di estrarre alcune previsioni e descrizioni significative.